الاشتقاق

وش معناها الاشتقاق أصلًا؟

كلمة "اشتقاق" ممكن في البداية تبانلك حاجة صعيبة، بصح الفكرة اللي وراها بسيطة بزاف.

الاشتقاق يساعدنا نفهمو كيفاش الدالة تتصرف: واش راهي تطلع؟ واش راهي تهبط؟ وبأي سرعة تتغير؟

تخيلي سيارة ماشية في طريق.

ما يكفيش نعرفو غير وين راهي السيارة.

نحبوا نعرفو أيضًا: بأي سرعة راهي تتحرك؟

هنا يجي دور المشتقة.

1. المشتقة كفكرة

إذا كانت عندنا دالة تمثل تغير حاجة معينة، المشتقة تعطينا فكرة على سرعة هذا التغير.

وفي دراسة الدوال نستعملو المشتقة خصوصًا باش نعرفو:

هل الدالة طالعة؟
هل الدالة هابطة؟
وين تبدل اتجاهها؟

يعني الاشتقاق راح يكون أداة قوية جدًا باش ندرسو الدالة.

2. وش هي الدالة المشتقة؟

إذا كانت عندنا الدالة:

f(x)

نقدروا نحسبو مشتقتها ونسميوها:

f'(x)

وتتقرا: f prime de x أو ببساطة: مشتقة f.

انتبهي:

f(x) هي الدالة الأصلية.
f'(x) هي مشتقتها.

يعني ماشي نفس الحاجة.

3. علاش نحتاجو f'(x)؟

لأن إشارة المشتقة تعطينا اتجاه تغير الدالة.

إذا:

f'(x) > 0

الدالة تكون متزايدة على المجال المدروس.

إذا:

f'(x) < 0

الدالة تكون متناقصة.

إذا:

f'(x) = 0

نلقاو نقطة مهمة، وغالبًا تكون مرتبطة بتغير التغيرات أو قيمة قصوى/دنيا حسب الحالة.

4. أهم قواعد الاشتقاق

الآن نبدأو بالقواعد اللي راح تحتاجيهم في التمارين.

مشتقة عدد ثابت:

f(x) = k

f'(x) = 0

أي عدد ثابت مشتقته صفر.

مشتقة x:

f(x) = x

f'(x) = 1

مشتقة x²:

f(x) = x²

f'(x) = 2x

مشتقة x³:

f(x) = x³

f'(x) = 3x²

5. قاعدة القوى

بدل ما تحفظي كل قوة وحدها، كاين قاعدة واحدة تجمعهم.

(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹

معناها: ننزلو الأس قدام، وننقصو من الأس واحد.

مثال:

f(x) = x⁵

الأس هو 5.

f'(x) = 5x⁴

احفظيها بهذه الطريقة:

الأس ينزل قدام × الأس ينقص بواحد.

6. العدد المضروب في الدالة

إذا كان عندنا عدد ثابت مضروب في دالة، نخليو العدد ونشتقو الدالة.

(k f(x))' = k f'(x)

f(x) = 4x³

مشتقة x³ هي 3x²، ونخليو 4:

f'(x) = 4 × 3x²

f'(x) = 12x²

7. مشتقة الجمع والطرح

إذا كانت الدالة عبارة عن مجموع أو فرق، نشتق كل جزء وحدو.

(f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

f(x) = x³ + 2x² - 5x + 7

نشتق كل حد:

f'(x) = 3x² + 4x - 5

لأن مشتقة العدد 7 هي صفر.

8. مثال كامل من البداية

f(x) = 3x⁴ - 2x² + 5x - 8

مشتقة 3x⁴: 12x³

مشتقة -2x²: -4x

مشتقة 5x: 5

مشتقة -8: 0

f'(x) = 12x³ - 4x + 5

9. مشتقة حاصل الضرب

هنا لازم ننتبهو.

إذا كانت:

f(x) = u(x) × v(x)

ما نشتقوش كل وحدة ونضربوهم.

القاعدة هي:

(uv)' = u'v + uv'

يعني:

مشتقة الأولى × الثانية
+
الأولى × مشتقة الثانية.

f(x) = x²(x + 1)

نحدد:

u = x²
v = x + 1

إذن:

u' = 2x
v' = 1

نطبق القاعدة:

f'(x) = 2x(x + 1) + x²(1)

ومن بعد نبسطو إذا احتجنا.

10. مشتقة خارج القسمة

إذا كانت:

f(x) = u/v

القاعدة:

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

ركزي مليح:

في البسط:
مشتقة البسط × المقام
ناقص
البسط × مشتقة المقام.

والمقام كامل يتربع.

f(x) = (x + 1)/(x + 2)

نحدد:

u = x + 1
v = x + 2

إذن:

u' = 1
v' = 1

نطبق:

f'(x) = [1(x + 2) - (x + 1)(1)] / (x + 2)²

f'(x) = 1/(x + 2)²

11. مشتقة الدالة المركبة

هذي مهمة جدًا لأن راح نحتاجوها من بعد مع الدوال الأسية واللوغاريتمية.

إذا كانت عندنا دالة داخل دالة، نستعملو قاعدة السلسلة.

[f(u(x))]' = f'(u(x)) × u'(x)

f(x) = (2x + 1)³

الدالة الخارجية هي القوة 3.

والداخلية هي:

u = 2x + 1

نشتق:

3(2x + 1)² × 2

f'(x) = 6(2x + 1)²

القاعدة اللي تحفظيها:

نشتق الخارج × مشتقة الداخل.

12. كيفاش نعرف إشارة المشتقة؟

هنا نبدأو نستعملو الاشتقاق في دراسة الدالة.

مثلًا عندنا:

f'(x) = 2x - 4

باش نعرفو وين المشتقة موجبة أو سالبة، نحلّو:

2x - 4 = 0

x = 2

إذن 2 قيمة مهمة تفصل بين المجالات.

x	-∞	2	+∞
f'(x)	-	0	+
f	↘	قيمة دنيا	↗

بما أن:
f'(x) < 0
الدالة متناقصة.

وبما أن:
f'(x) > 0
الدالة متزايدة.

13. المماس: علاش نحتاجوه؟

المماس هو مستقيم يلمس المنحنى عند نقطة معينة ويمثل تقريبًا اتجاه المنحنى في تلك النقطة.

معامل توجيه المماس عند النقطة ذات الفاصلة a هو:

f'(a)

وإذا حبينا معادلة المماس:

y = f'(a)(x - a) + f(a)

إذا كان:

f(x) = x²

عند:

a = 1

عندنا:

f'(x) = 2x

إذن:

f'(1) = 2

و:

f(1) = 1

معادلة المماس:

y = 2(x - 1) + 1

وبالتالي:

y = 2x - 1

14. كيفاش نخدم تمرين اشتقاق في البكالوريا؟

كي يجيك تمرين، ما تدخليش مباشرة في الحساب.

الخطوة 1: نشوف شكل الدالة.