الدالة الأسية

أولًا: ما تخافيش من الأسية 😄

إذا وصلتي لهذا الدرس وقلتي: "واش هذي e؟ وواش معنى exp؟" عادي جدًا.

راح نبنيو الفكرة من الصفر، وبعدها ندخلو بالتدريج في القواعد والتمارين.

الهدف ماشي تحفظي مجموعة خواص وخلاص.

الهدف هو كي تشوفي تمرين على الدالة الأسية، تعرفي مباشرة: واش راهو يطلب مني؟ وواش القاعدة اللي نحتاجها؟

1. وش هي الدالة الأسية؟

في البكالوريا نلتاقاو بالدالة الأسية الطبيعية، ونرمزولها غالبًا بـ:

exp(x)

أو نكتبوها:

eˣ

يعني:

exp(x) = eˣ

هذو زوج نفس الحاجة:

exp(x)
و
eˣ

2. وواش هي e؟

العدد e هو عدد ثابت مشهور في الرياضيات.

قيمته تقريبًا:

e ≈ 2.71828

في البكالوريا ما تحتاجيش تحفظي كل الأرقام اللي بعد الفاصلة.

المهم تعرفي أن:

e > 1

وواحدة من أهم الحوايج:

كي تشوفي eˣ، اعتبريها دالة خاصة عندها خواص لازم تتعرفي عليها.

3. أول قيم لازم تحفظيهم

كاين قيم بسيطة لازم يكونو محفوظين.

عندما x = 0:

e⁰ = 1

عندما x = 1:

e¹ = e

عندما x = -1:

e⁻¹ = 1/e

أهم واحدة في البداية:

e⁰ = 1

4. أهم خواص الأسية

هنا لازم نركزو مليح.

خاصية الجمع

eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ

مثلاً:

e² × e³ = e⁵

خاصية الطرح

eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇ

e⁵ / e² = e³

القوة

(eᵃ)ᵇ = eᵃᵇ

(e²)³ = e⁶

5. الأس السالب

كي يكون الأس سالب، نقدروا نقلبوه للمقام.

e⁻ˣ = 1/eˣ

مثلاً:

e⁻² = 1/e²

يعني الإشارة السالبة في الأس ما تعنيش أن النتيجة سالبة.

هذا مهم جدًا.

6. الأسية ديما موجبة

مهما كانت قيمة x، عندنا:

eˣ > 0

يعني الدالة الأسية عمرها ما تساوي صفر وعمرها ما تكون سالبة.

إذن إذا جاك:

eˣ = 0

فالجواب:

مستحيل.

7. كيفاش تتصرف الدالة الأسية؟

الدالة:

f(x) = eˣ

عندها مشتقة:

f'(x) = eˣ

وبما أن:

eˣ > 0

إذن:

f'(x) > 0

وبالتالي الدالة الأسية متزايدة تمامًا على ℝ.

8. شكل تغيرات الدالة الأسية

x	-∞	+∞
eˣ	0	+∞
التغير	↗ متزايدة

النهايات المهمة:

عندما:

x → +∞

فإن:

eˣ → +∞

وعندما:

x → -∞

فإن:

eˣ → 0

9. مشتقة الدالة الأسية

هذي من أهم القواعد في الدرس.

(eˣ)' = eˣ

يعني حاجة مميزة بزاف: الدالة الأسية مشتقتها هي نفسها.

إذا:

f(x) = eˣ

إذن:

f'(x) = eˣ

10. إذا كان الأس فيه عدد مضروب في x

مثلاً:

f(x) = e²ˣ

هنا نستعمل قاعدة الدالة المركبة.

(eᵘ)' = u'eᵘ

بما أن:

u = 2x

u' = 2

إذن:

f'(x) = 2e²ˣ

القاعدة اللي تخدمي بيها:

مشتقة الأسية = الأسية نفسها × مشتقة الأس.

11. مثال مهم جدًا

f(x) = e³ˣ⁺¹

الأس هو:

u = 3x + 1

مشتقته:

u' = 3

إذن:

f'(x) = 3e³ˣ⁺¹

12. الدالة e⁻ˣ

هذه تلقاها بزاف في التمارين.

f(x) = e⁻ˣ

الأس:

u = -x

ومشتقته:

u' = -1

إذن:

f'(x) = -e⁻ˣ

انتبهي:

ماشي:

f'(x) = e⁻ˣ

نسينا مشتقة الأس.

الصحيح:

f'(x) = -e⁻ˣ

13. حل معادلات أسية بسيطة

كي نلقاو نفس الأساس، نقدروا نقارنو الأسس.

eˣ = e³

بما أن الأساس نفسه:

x = 3

e²ˣ = e⁶

نقارنو الأسس:

2x = 6

x = 3

14. المتراجحات الأسية

بما أن الدالة الأسية متزايدة تمامًا، إذا قارنا:

eᵃ < eᵇ

نقدروا مباشرة نقولو:

a < b

مثلاً:

e²ˣ < e⁶

إذن:

2x < 6

وبالتالي:

x < 3

السبب؟

لأن الدالة الأسية متزايدة تمامًا.

15. النهايات اللي لازم تكون محفوظة

lim eˣ = +∞
x → +∞

lim eˣ = 0
x → -∞

وبالنسبة لـ e⁻ˣ:

x → +∞
e⁻ˣ → 0

و:

x → -∞
e⁻ˣ → +∞

16. مثال شامل على دراسة دالة أسية

نعطيو:

f(x) = eˣ - x

الخطوة 1: نحسب المشتقة

f'(x) = eˣ - 1

الخطوة 2: نبحث عن انعدام المشتقة

eˣ - 1 = 0

eˣ = 1

ونعرفو أن:

e⁰ = 1

إذن:

x = 0

الخطوة 3: ندرس الإشارة

بما أن الأسية متزايدة:

x < 0 → eˣ < 1

x > 0 → eˣ > 1

وبالتالي:

x < 0 → f'(x) < 0

x > 0 → f'(x) > 0

إذن الدالة متناقصة ثم متزايدة، وعندها قيمة دنيا عند x = 0.

الخطوة 4: نحسب القيمة الدنيا

f(0) = e⁰ - 0

f(0) = 1

17. تمرين جربيه وحدك 🧠

تمرين 1

اشتقي:

f(x) = e⁵ˣ

الحل:

f'(x) = 5e⁵ˣ

تمرين 2

حلي:

eˣ = e⁷

الحل:

x = 7