قبل ما نخافو من كلمة "نهاية" 😄
أول حاجة لازم نحيّو فكرة من راسنا: النهاية ما تعنيش بالضرورة بلي الدالة "وصلت" للقيمة.
النهاية تحكيلنا على وين راهي الدالة تقرّب كي x تقرّب من قيمة معينة.
ما يهمناش واش وصلتي للباب ولا لا، المهم: لأي مكان راكي تقربي؟
هذي تقريبًا هي الفكرة اللي نحتاجوها باش نفهمو النهاية.
1. وش معناها نهاية الدالة؟
نخليو عندنا دالة، ونخليو x تقرب لقيمة معينة.
ونشوفو الدالة واش راهي تدير كي x تقرب لهذيك القيمة.
نخليو x تقرب للعدد 3.
كي x تكون قريبة من 3، f(x) تكون قريبة من:
إذن نقولو النهاية هي 5.
x → 3
2. الفرق بين f(3) والنهاية عند 3
هذي نقطة مهمة جدًا.
كي نقولو:
راهنا نحوسو على قيمة الدالة بالضبط عند 3.
أما كي نقولو:
x → 3
راهنا نشوفو واش تصرا للدالة كي x تقرب من 3.
f(3) = القيمة عند 3.
النهاية عند 3 = وين راهي الدالة رايحة كي x تقرب من 3.
3. إذا نقدر نعوض مباشرة، نعوض
في بزاف من النهايات، الخدمة تكون سهلة.
نعوضو قيمة x مباشرة.
نحسبو النهاية عندما:
نعوضو 2:
إذن النهاية تساوي 10.
"نقدر نعوض مباشرة؟"
إذا نعم → نعوض ونكمل.
4. كي التعويض يعطينا 0/0
هنا تبدأ الحاجة اللي تخوف التلاميذ شوية 😅 بصح في الحقيقة عندها منطق.
إذا عوضنا وخرجتلنا:
ما نقولوش النهاية = 0.
وما نقولوش النهاية = 1.
نقولو: لقينا حالة غير معينة.
5. كيفاش نتعاملو مع 0/0؟
كاين أكثر من طريقة حسب شكل العبارة.
الطريقة الأولى: التحليل
x → 2
إذا عوضنا 2:
إذن نحللو البسط:
تصبح:
نختصر العامل المشترك:
ومن بعد نعوضو 2:
ما حسبناش 0/0.
بدلنا العبارة حتى ولات قابلة للحساب.
6. النهاية من اليمين ومن اليسار
مرات x تقدر تقرب للعدد من جهتين.
مثلاً كي نقولو x تقرب لـ 2:
نقدروا نقربو من أعداد أصغر من 2:
هذي نسميها الاقتراب من اليسار.
ونقدروا نقربو من أعداد أكبر من 2:
هذي من اليمين.
7. النهاية اللانهائية
مرات كي x تقرب من عدد معين، الدالة ما تقربش لعدد عادي.
ممكن القيم تكبر بزاف بزاف.
كي x تقرب من 2 من جهة معينة، المقام يقرب للصفر، والقيمة تقدر تكبر بزاف.
في هذي الحالات نستعملو:
∞ ماشي عدد عادي نعاملوه كيما 5 أو 10.
هو رمز يدل على أن القيم راهي تكبر بلا حد.
8. النهايات عند +∞ و -∞
هنا بدل ما x تقرب لعدد، x نفسها تروح بعيد بزاف.
مثلاً:
معناها x تكبر:
و:
معناها x تروح للأعداد السالبة الكبيرة:
9. كيفاش نعرفو واش يهم في النهاية؟
كي x تروح لـ +∞، لازم نشوفو في العبارة: شكون هو الحد اللي يسيطر؟
كي x تكبر بزاف، الحد x² يكبر أسرع من 3x و5.
لهذا x² هو اللي يسيطر على السلوك.
كي x تكبر بزاف، ما نبقاوش نتعاملو مع كامل الحدود بنفس الأهمية.
نشوفو شكون راهو يسيطر.
10. مثال مهم: كسر عند +∞
x → +∞
هنا البسط والمقام كامل يكبرو.
نركزو على أعلى درجة في كل واحد.
x تختصر:
إذن النهاية هي 2.
11. الحالات اللي لازم توقفي عندها
في التمرين، ما تطبقيش طريقة عشوائية. أول حاجة عوضي إذا كان ممكن، وشوفي واش خرجلك.
كملي، غالبًا النهاية واضحة.
توقفي. هذي حالة غير معينة وتحتاج تحويل العبارة.
نحللو السلوك ونشوفو إشارة التعبير.
12. مثال شامل خطوة بخطوة
نحوسو على:
x → 3
النهاية تساوي 6.
لاحظي كيفاش خدمنا:
تعويض → 0/0 → تحليل → اختصار → تعويض جديد.
13. أخطاء ما نحبوش نشوفوها 😄
نشوف 0/0 ونقول النهاية 0.
❌ خطأ.
0/0 حالة غير معينة.
نخلط بين f(a) والنهاية عندما x→a.
❌ ماشي نفس الفكرة دائمًا.
نبدأ الحساب بلا ما نشوف واش راهو مطلوب.
❌ ديما اقري السؤال أولًا وحددي واش راهو يطلب.
14. جربي وحدك 🧠
احسبي:
x → 2
احسبي:
x → 2
15. الخلاصة اللي نحبها تبقى في بالك
النهاية = وين راهي الدالة تقرب
أول حاجة نشوفو واش يصرا كي نعوض.
إذا خرج عدد عادي → غالبًا نكملو مباشرة.
إذا خرج 0/0 → حالة غير معينة، لازم نبدلو شكل العبارة.
وإذا كانت x تروح لـ +∞ أو -∞،