تحدي البكالوريا في الاحتمالات

هذا المستوى مخصص للي حابة تختبر روحها بجدية. حاولي تحلي كل تمرين وحدك قبل ما تضغطي على إظهار الحل.

تمرين مركب في السحب

صندوق يحتوي على 5 كرات حمراء و4 كرات زرقاء. نسحب كرتين متتاليتين بدون إرجاع. ليكن: A : الحصول على كرتين من نفس اللون B : الحصول على كرة حمراء واحدة فقط. احسبي احتمال A واحتمال B. ثم تحققي من العلاقة بين الحدثين.

حل فيفي

أولًا الحدث A. نفس اللون عندنا فيه زوج حالات: حمراء ثم حمراء أو زرقاء ثم زرقاء.

حمراء ثم حمراء: 5/9 × 4/8 = 5/18

زرقاء ثم زرقاء: 4/9 × 3/8 = 1/6

إذن: P(A)=5/18+1/6=4/9

الحدث B يعني لونين مختلفين. حمراء ثم زرقاء: 5/9 × 4/8 = 5/18

زرقاء ثم حمراء: 4/9 × 5/8 = 5/18

إذن: P(B)=5/9

ونلاحظ: 4/9 + 5/9 = 1

فيفي تقولك

هنا عندك زوج أحداث يغطيوا كامل الحالات. يا إما نفس اللون يا إما لونين مختلفين. لهذا مجموع الاحتمالين لازم يكون 1. وهذي طريقة ممتازة باش تراجعي حسابك.

على الأقل وبدون إرجاع

كيس يحتوي على 6 كرات منها 2 حمراء و4 زرقاء. نسحب 3 كرات متتالية بدون إرجاع. احسبي احتمال الحصول على كرة حمراء واحدة على الأقل.

حل فيفي

نحبوا "حمراء واحدة على الأقل". نروحوا للعكس لأنه أسهل. العكس هو: عدم الحصول على أي كرة حمراء يعني الكرات الثلاث كامل زرقاء.

احتمال الأولى زرقاء: 4/6

الثانية: 3/5

الثالثة: 2/4

إذن: P(لا حمراء)=4/6 × 3/5 × 2/4 = 1/5

إذن: P(على الأقل حمراء)=1-1/5=4/5

فيفي تقولك

إذا شفتِ "على الأقل" ما تخافيش منها. جربي تشوفي العكس. مرات التمرين كامل يتحل بسطر واحد كي تعرفي الحيلة.

شجرة واحتمالات مشروطة

مصنع ينتج قطعًا من نوعين. الآلة A تنتج 60% من القطع والآلة B تنتج 40%. نسبة القطع المعيبة من إنتاج A هي 2% ومن إنتاج B هي 5%. نختار قطعة عشوائيًا. ما احتمال أن تكون القطعة معيبة؟

حل فيفي

هنا ما عندناش كرات. بصح نفس فكرة الشجرة. القطعة تقدر تجي من A أو من B.

من A ومعيبة: 0.60 × 0.02 = 0.012

من B ومعيبة: 0.40 × 0.05 = 0.020

إذن احتمال القطعة المعيبة: 0.012 + 0.020 = 0.032

أي: 3.2%

فيفي تقولك

الفكرة هنا مهمة بزاف. ما تحوسيش على رقم واحد وتحطيه مباشرة. اسألي: منين جات القطعة؟ A ولا B؟ وبعدها شوفي احتمال العيب داخل كل طريق.

نعرف الأصل ونبحث عن السبب

نفس المصنع السابق. نعلم أن قطعة مختارة عشوائيًا كانت معيبة. ما احتمال أن تكون هذه القطعة قد أنتجتها الآلة B؟

حل فيفي

هنا تبدلت الفكرة. في التمرين السابق كنا نعرف الآلة ونبحثو على احتمال العيب. هنا نعرفو أن القطعة معيبة ونبحثو: من أي آلة جاءت؟

احتمال: B ومعيبة = 0.40 × 0.05 = 0.020

واحتمال المعيبة كامل: 0.032

إذن: P(B | معيبة) = 0.020 / 0.032 = 0.625

أي: 62.5%

فيفي تقولك

هنا قلبنا السؤال. قبل كنا نقولو: من الآلة إلى العيب. ودرك نقولو: من العيب إلى الآلة. هذا النوع لازم تفهميه مليح لأنه يبان صعيب في البداية بصح الفكرة واضحة كي ترتبي المعطيات.

تحدي النرد

نرمي نردًا متوازنًا مرتين. احتمال الحصول على عدد زوجي في الرمية الأولى هو الحدث A. واحتمال الحصول على مجموع يساوي 7 في الرميتين هو الحدث B. احسبي: P(A) P(B) ثم فكري هل الحدثان مستقلان أم لا.

حل فيفي

الأعداد الزوجية في الرمية الأولى: 2 و4 و6 إذن: P(A)=3/6=1/2

بالنسبة لمجموع 7 عندنا 6 حالات من أصل 36: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)

إذن: P(B)=6/36=1/6

نحسب احتمال A و B معًا. حتى يكون العدد الأول زوجيًا ومجموعهما 7 فالاحتمالات هي: (2,5) (4,3) (6,1)

إذن: P(A∩B)=3/36=1/12

نحسب: P(A)×P(B) = 1/2 × 1/6 = 1/12

إذن: P(A∩B)=P(A)×P(B) وبالتالي الحدثان مستقلان.

فيفي تقولك

ما تحكميش على الاستقلال من شكل التمرين. كاين اختبار رياضي واضح. إذا تحقق: P(A∩B)=P(A)×P(B) نقدرو نقولو أن الحدثين مستقلان.

التحدي الأخير

كيس يحتوي على 4 كرات حمراء و6 كرات زرقاء. نسحب 3 كرات بدون إرجاع. ما احتمال الحصول على كرتين حمراوين بالضبط؟

حل فيفي

كرتين حمراوين بالضبط معناها عندنا 3 طرق: حمراء حمراء زرقاء حمراء زرقاء حمراء زرقاء حمراء حمراء

الحالة الأولى: 4/10 × 3/9 × 6/8 = 1/10

الحالة الثانية: 4/10 × 6/9 × 3/8 = 1/10

الحالة الثالثة: 6/10 × 4/9 × 3/8 = 1/10

نجمع الحالات الثلاث: P = 3/10

فيفي تقولك

هنا نحبك تتعلمي حاجة مهمة. لما يقلك "بالضبط كرتين" لازم تفكري في جميع الترتيبات الممكنة. ماشي غير حمراء حمراء ونحبسو. لازم نشوفو وين تقدر تجي الكرة الزرقاء.

وصلتي لتحدي البكالوريا؟ 👏 ما يهمنيش إذا غلطتي في بعض التمارين. المهم تعرفي علاش غلطتي. لأن الاحتمالات ماشي حفظ قوانين وخلاص. كل تمرين عندو مفتاح صغير. وكي تتعلمي تلقاي المفتاح التمرين اللي كان يخوفك يولي عادي جدًا.

فيفي معاكم خطوة بخطوة 🤍