أفكار الباك | الاحتمالات

🔎 الفكرة

إذا كانت النتائج متساوية الاحتمال نستعمل: P(A)=عدد الحالات الملائمة ÷ عدد الحالات الممكنة.

✏️ سؤال

نرمي نردًا متوازنًا مرة واحدة. ما احتمال الحصول على عدد زوجي؟

🧠 الحل

النتائج الممكنة:

{1,2,3,4,5,6}

الأعداد الزوجية:

{2,4,6}

إذن لدينا 3 حالات ملائمة من أصل 6:

P(A)=3/6=1/2

✅ النتيجة

P(A)=1/2

💗 سر فيفي

قبل الحساب اكتبي الحالات الممكنة والحالات الملائمة. هكذا تقل الأخطاء بزاف.

✏️ سؤال

إذا كان:

P(A)=0.35

احسبي احتمال عدم تحقق A.

🧠 الحل

نستعمل:

P(Ā)=1-P(A)

إذن:

P(Ā)=1-0.35=0.65

✅ النتيجة

P(Ā)=0.65

💗 سر فيفي

كلمات مثل: "عدم" و"ليس" و"على الأقل مرة" أحيانًا تخليك تربحي الوقت باستعمال الحدث العكسي.

🔎 الفكرة

A∪B يعني تحقق A أو B أو كليهما.
A∩B يعني تحقق A وB معًا.

✏️ سؤال

إذا كان:

P(A)=0.5

P(B)=0.4

P(A∩B)=0.2

احسبي P(A∪B).

🧠 الحل

نستعمل:

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

إذن:

P(A∪B)=0.5+0.4-0.2

P(A∪B)=0.7

💗 سر فيفي

في الاتحاد ننقص التقاطع لأننا حسبناه مرتين.

🔎 الفكرة

الحدثان A وB مستقلان إذا: P(A∩B)=P(A)×P(B)

✏️ سؤال

نعلم أن:

P(A)=0.4

P(B)=0.5

P(A∩B)=0.2

هل A وB مستقلان؟

🧠 الحل

نحسب:

P(A)×P(B)=0.4×0.5=0.2

وبما أن:

P(A∩B)=0.2

فإن الشرط متحقق.

نعم، الحدثان A وB مستقلان.

💗 سر فيفي

ما تقوليش مستقلين لأن "التمرين قال". تحققي من العلاقة رياضيًا.

🔎 الفكرة

احتمال A بشرط B يكتب: P_B(A)=P(A∩B)/P(B) بشرط P(B)≠0.

✏️ سؤال

لدينا:

P(A∩B)=0.18

و:

P(B)=0.6

احسبي P_B(A).

🧠 الحل

P_B(A)=0.18/0.6

P_B(A)=0.3

💗 سر فيفي

الحرف اللي تحت P هو الشرط. P_B(A) معناها: احتمال A مع العلم أن B تحقق.

🔎 الفكرة

في شجرة الاحتمالات:
• احتمال المسار = حاصل ضرب احتمالات فروعه.
• احتمال حدث من عدة مسارات = مجموع احتمالات هذه المسارات.

✏️ مثال

لدينا صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء و2 زرقاء. نسحب كرة واحدة مع الإرجاع ثم نسحب كرة ثانية. ما احتمال الحصول على حمراء ثم زرقاء؟

🌸 الشجرة

السحبة الأولى:
🔴 حمراء = 3/5
🔵 زرقاء = 2/5

بعد الإرجاع تبقى نفس الاحتمالات:
🔴 = 3/5
🔵 = 2/5

🧠 الحل

مسار حمراء ثم زرقاء:

(3/5)×(2/5)=6/25

✅ النتيجة

P(R∩B)=6/25

💗 سر فيفي

في الشجرة: المسار الواحد → نضرب. عدة مسارات لنفس الحدث → نجمع.

✏️ مثال

صندوق فيه 3 كرات حمراء و2 زرقاء. نسحب كرتين.

🧠 مع الإرجاع

بعد السحبة الأولى نرجع الكرة. لذلك تبقى:

3 حمراء و2 زرقاء

في السحبة الثانية. مثلاً:

P(R ثم R)=3/5×3/5=9/25

🧠 بدون إرجاع

إذا سحبنا حمراء أولًا ولم نرجعها، يبقى:

2 حمراء و2 زرقاء

من أصل 4. إذن:

P(R ثم R)=3/5×2/4=3/10

💗 سر فيفي

اسألي نفسك: هل رجعت الكرة؟
نعم → المقام وعدد الحالات يرجع كما كان.
لا → المعطيات تتغير بعد السحبة.

🔎 الفكرة

إذا كانت B وB̄ حالتين تكملان بعضهما: P(A)=P(B)P_B(A)+P(B̄)P_B̄(A)

✏️ سؤال

لدينا:

P(B)=0.6

و:

P_B(A)=0.2

و:

P_B̄(A)=0.5

احسبي P(A).

🧠 الحل

أولًا:

P(B̄)=1-0.6=0.4

ثم:

P(A)=0.6×0.2+0.4×0.5

P(A)=0.12+0.20=0.32

✅ النتيجة

P(A)=0.32

💗 سر فيفي

إذا قسمتِ الوضعية إلى حالات مختلفة، احسبي كل مسار وحده ثم اجمعي المسارات التي تؤدي إلى A.

🔎 الفكرة

أحيانًا يعطوك P_B(A) ويطلبون P_A(B). هنا نحتاج نحسب التقاطع ثم نستعمل الاحتمال الشرطي.

✏️ سؤال

لدينا:

P(A)=0.4

P(B|A)=0.5

P(B|Ā)=0.2

أوجدي P(A|B).

🧠 الحل

أولًا:

P(A∩B)=P(A)P(B|A)

إذن:

P(A∩B)=0.4×0.5=0.2

نحسب:

P(Ā)=0.6

ثم:

P(B)=0.4×0.5+0.6×0.2

P(B)=0.2+0.12=0.32

وأخيرًا:

P(A|B)=0.2/0.32=0.625

✅ النتيجة

P(A|B)=0.625

💗 سر فيفي

ما تقلبليش الشرط مباشرة 😭 P(B|A) ليست هي P(A|B). لازم تحسبيها بالطريقة الصحيحة.

🔎 الفكرة

إذا تكررت تجربة برنولية n مرات باستقلالية، واحتمال النجاح في كل مرة هو p، فإن: P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ

✏️ سؤال

نرمي قطعة نقد متوازنة 3 مرات. ما احتمال الحصول على وجهين بالضبط؟

🧠 الحل

لدينا:

n=3

k=2

p=1/2

إذن:

P(X=2)=C(3,2)(1/2)²(1/2)¹

وبما أن:

C(3,2)=3

فنحصل على:

P(X=2)=3/8

✅ النتيجة

احتمال الحصول على وجهين بالضبط هو:

3/8

💗 سر فيفي

"بالضبط k" معناها X=k.
"على الأقل k" معناها X≥k.
"على الأكثر k" معناها X≤k.

✏️ مثال

إذا كان X عدد النجاحات في تجربة متكررة، فإن:

🧠 الترجمة

بالضبط 2:

X=2

على الأقل 2:

X≥2

أي:

X=2 أو X=3 أو ...

على الأكثر 2:

X≤2

أي:

X=0 أو X=1 أو X=2

💗 سر فيفي

"على الأقل" معناها من العدد وطلوع.
"على الأكثر" معناها من العدد وهبوط.

🔎 الفكرة

التمرين الطويل ممكن يجمع عدة أفكار في نفس الوضعية.

🧠 طريقة التفكير

قسميه إلى مراحل:

① تحديد التجربة والنتائج
② تعريف الأحداث
③ رسم الشجرة إذا كانت مناسبة
④ حساب الاحتمالات الشرطية
⑤ استعمال قانون الاحتمال الكلي
⑥ الاستقلالية أو بايز إذا طُلب
⑦ تحديد قانون X إذا كانت تجربة ثنائي الحدين
⑧ حساب الاحتمال المطلوب

💗 سر فيفي

ما تخليش طول التمرين يخوفك 💗 غالبًا التمرين الكبير عبارة عن أفكار صغيرة مربوطة ببعضها.