تمرين مركب يجمع أهم الأفكار
لتكن المتتالية u المعرفة على N بـ: u₀ = 2 و: uₙ₊₁ = 3uₙ + 4
لدينا: u₀ = 2
إذن: u₁ = 3 × 2 + 4 = 10
ثم: u₂ = 3 × 10 + 4 = 34
وأخيرًا: u₃ = 3 × 34 + 4 = 106
لدينا: vₙ₊₁ = uₙ₊₁ + 2
نعوض علاقة u: vₙ₊₁ = 3uₙ + 4 + 2
إذن: vₙ₊₁ = 3uₙ + 6
وبما أن: vₙ = uₙ + 2
فإن: uₙ = vₙ − 2نعوض: vₙ₊₁ = 3(vₙ − 2) + 6
إذن: vₙ₊₁ = 3vₙ
لدينا: v₀ = u₀ + 2
إذن: v₀ = 2 + 2 = 4
وقد وجدنا: vₙ₊₁ = 3vₙ
إذن v متتالية هندسية أساسها: q = 3
وبالتالي: vₙ = v₀ × 3ⁿ
إذن: vₙ = 4 × 3ⁿ
لدينا: vₙ = uₙ + 2
وقد وجدنا: vₙ = 4 × 3ⁿ
إذن: uₙ + 2 = 4 × 3ⁿ
وبالتالي: uₙ = 4 × 3ⁿ − 2
لدينا: uₙ = 4 × 3ⁿ − 2
إذن: u₄ = 4 × 3⁴ − 2
نعرف أن: 3⁴ = 81
إذن: u₄ = 4 × 81 − 2
u₄ = 322
لدينا: uₙ = 4 × 3ⁿ − 2
نحسب: uₙ₊₁ − uₙ
لدينا: uₙ₊₁ = 4 × 3ⁿ⁺¹ − 2
إذن: uₙ₊₁ − uₙ = 4 × 3ⁿ⁺¹ − 2 − 4 × 3ⁿ + 2
نخرج: 4 × 3ⁿ
فنحصل على: uₙ₊₁ − uₙ = 4 × 3ⁿ(3 − 1)
أي: uₙ₊₁ − uₙ = 8 × 3ⁿ
وبما أن: 8 × 3ⁿ > 0 لكل n من N فإن: uₙ₊₁ > uₙ
إذن المتتالية u متزايدة تمامًا.