أفكار الباك | المتتاليات

🔎 الفكرة

المتتالية تكون حسابية إذا كان:

u_n+1-u_n=r

عددًا ثابتًا لا يعتمد على n.

✏️ سؤال

لتكن:

u_n=3n+2

أثبت أنها حسابية.

🧠 الحل

u_n+1=3(n+1)+2=3n+5

إذن:

u_n+1-u_n =3n+5-(3n+2)=3

الفرق ثابت.

✅ النتيجة

المتتالية حسابية وأساسها:

r=3

💗 سر فيفي

فرق ثابت = حسابية. هذه أول حاجة شوفيها.

✏️ سؤال

لدينا متتالية حسابية:

u₀=5

r=3

أوجدي u₇.

🧠 الحل

uₙ=u₀+nr

إذن:

u₇=5+7×3=26

💗 سر فيفي

إذا البداية u₀ → نستعمل n مباشرة. إذا البداية u₁ → نستعمل: uₙ=u₁+(n-1)r.

✏️ سؤال

احسبي:

5+8+11+14+17

🧠 الحل

لدينا 5 حدود، الأول 5 والأخير 17.

S=n(u₁+uₙ)/2

S=5(5+17)/2=55

✅ النتيجة

S=55

💗 سر فيفي

عدّي الحدود مليح قبل ما تستعملي قانون المجموع.

🔎 الفكرة

إذا كانت الحدود غير معدومة نبحث عن نسبة ثابتة:

u_n+1/u_n=q

✏️ سؤال

لتكن:

uₙ=2×3ⁿ

أثبت أنها هندسية.

🧠 الحل

u_n+1=2×3ⁿ⁺¹

إذن:

u_n+1/u_n=3

✅ النتيجة

المتتالية هندسية ونسبتها:

q=3

💗 سر فيفي

حسابية → فرق. هندسية → نسبة. لا تخلطي بينهم.

✏️ سؤال

لدينا:

u₀=2

q=3

أوجدي u₄.

🧠 الحل

uₙ=u₀qⁿ

إذن:

u₄=2×3⁴=162

💗 سر فيفي

انتبهي للبداية: u₀ أو u₁، لأن الصيغة تتغير.

✏️ سؤال

احسبي:

1+2+4+8+16

🧠 الحل

لدينا:

u₁=1

q=2

n=5

نستعمل:

S=u₁(1-qⁿ)/(1-q)

إذن:

S=(1-2⁵)/(1-2)=31

💗 سر فيفي

إذا q=1 ما تستعمليش هذه الصيغة، لأن كل الحدود تكون متساوية.

✏️ سؤال

لتكن:

uₙ=2n+1

ادرس رتابتها.

🧠 الحل

u_n+1-u_n=2

وبما أن:

2>0

فإن المتتالية متزايدة تمامًا.

💗 سر فيفي

فرق موجب → متزايدة. فرق سالب → متناقصة.

✏️ سؤال

أثبت أن:

2ⁿ≥n+1

لكل n طبيعي.

🧠 الحل

عند n=0:

1≥1

صحيحة. نفترض:

2ᵏ≥k+1

نضرب في 2:

2^k+1≥2(k+1)

وبما أن:

2(k+1)≥k+2

إذن:

2^k+1≥k+2

💗 سر فيفي

الاستقراء = البداية ثم الفرضية ثم الانتقال.

✏️ مثال

لدينا:

u₀=1

u_n+1=2uₙ

أوجدي الحدود الأولى.

🧠 الحل

u₁=2×1=2

u₂=2×2=4

u₃=2×4=8

💗 سر فيفي

كل حد جديد يخرج من الحد اللي قبله. ما تقفزيش مباشرة لحد بعيد إلا إذا لقيتي الصيغة العامة.

🔎 الفكرة

إذا كانت المتتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى فهي متقاربة. وإذا كانت متناقصة ومحدودة من الأسفل فهي متقاربة.

✏️ مثال

إذا كانت:

uₙ≤5

لكل n، وكانت المتتالية متزايدة.

✅ الاستنتاج

المتتالية متقاربة حسب مبرهنة التقارب للمتتاليات الرتيبة والمحدودة.

💗 سر فيفي

لا يكفي تقولي "محدودة". حددي: محدودة من الأعلى أو من الأسفل.

✏️ سؤال

احسبي نهاية:

uₙ=5(1/2)ⁿ

عندما n→+∞.

🧠 الحل

بما أن:

|1/2|<1

فإن:

(1/2)ⁿ→0

إذن:

uₙ→0

💗 سر فيفي

في qⁿ عند اللانهاية: إذا |q|<1 → النهاية 0.

🧠 طريقة التفكير

قسمي التمرين إلى:

① حساب الحدود الأولى
② تحديد نوع المتتالية
③ إيجاد الحد العام
④ دراسة الرتابة
⑤ إثبات المحدودية
⑥ دراسة التقارب
⑦ حساب النهاية
⑧ حساب المجموع إذا طُلب

💗 سر فيفي

التمرين الطويل ما يخوفش 💗 قسميه لأفكار صغيرة، وكل نتيجة توصلي لها استعمليها في اللي بعدها.