دراسة التغيرات

قبل ما نبدأو...

وصلنا الآن لحاجة مهمة بزاف.

عرفنا في الدرس السابق كيفاش نحسبو المشتقة، بصح السؤال الحقيقي هو:

"مليح، حسبنا f'(x)... ودوك واش نديرو بيها؟" 😄

هنا بالضبط تبدأ دراسة التغيّرات.

المشتقة راح تعطينا مفتاح نفهمو بيه: واش الدالة تطلع، واش تهبط، ووين تبدل اتجاهها.

1. واش معناها الدالة متزايدة؟

كي نقولو الدالة متزايدة، معناها كلما x تزيد، قيمة الدالة تزيد معاها.

يعني المنحنى راهو طالع من اليسار لليمين.

x ↑ ⇒ f(x) ↑

تخيلي طريق راكي طالعة فيه.

كلما تمشي للقدام، تلقاي روحك أعلى.

هذا هو تقريبًا معنى "متزايدة".

2. واش معناها الدالة متناقصة؟

العكس تمامًا.

كي x تزيد، قيمة الدالة تنقص.

x ↑ ⇒ f(x) ↓

كي تكوني في طريق وراكي تهبطي، كلما تقدمي للقدام راكي تهبطي أكثر.

هذي هي فكرة الدالة المتناقصة.

3. وين تدخل المشتقة؟

هنا لازم نربطو الدرسين ببعضاهم.

ما نحتاجوش كل مرة نشوفو المنحنى بعينينا.

نستعملو إشارة المشتقة.

إذا:

f'(x) > 0

الدالة متزايدة.

إذا:

f'(x) < 0

الدالة متناقصة.

احفظي العلاقة الذهبية:

المشتقة + → الدالة تطلع

المشتقة - → الدالة تهبط

4. كيفاش نلقى وين تتبدل الدالة؟

نحتاجو نلقاو القيم اللي فيها:

f'(x) = 0

علاش؟

لأن هذي النقاط ممكن تكون فيها الدالة تبدل من الطلوع للهبوط أو العكس.

f'(x) = 2x - 4

نحل:

2x - 4 = 0

x = 2

إذن x = 2 قيمة مهمة لازم ندرسوها.

5. مثال نفهمو بيه الفكرة كاملة

f'(x) = 2x - 4

لقينا:

f'(x) = 0
x = 2

الآن نحتاجو نعرفو إشارة المشتقة قبل 2 وبعد 2.

قبل 2، مثلاً ناخذو x = 0:

f'(0) = -4

إذن المشتقة سالبة.

بعد 2، مثلاً ناخذو x = 3:

f'(3) = 2

إذن المشتقة موجبة.

النتيجة:

قبل 2 → الدالة متناقصة.
بعد 2 → الدالة متزايدة.

يعني عند x = 2 الدالة بدلت اتجاهها.

6. جدول الإشارة

باش ننظمو الخدمة، نستعملو جدول الإشارة.

x	-∞	2	+∞
f'(x)	-	0	+

هذا الجدول يقولنا:

f'(x) سالبة في الجهة الأولى.

f'(2) = 0.

f'(x) موجبة في الجهة الثانية.

7. من جدول الإشارة إلى جدول التغيّرات

هنا النقطة اللي لازم تفهميها مليح.

جدول الإشارة يقولنا إشارة المشتقة، وجدول التغيرات يقولنا واش راهي تدير الدالة.

x	-∞	2	+∞
f'(x)	-	0	+
f(x)	↘	قيمة دنيا	↗

المشتقة سالبة؟
إذن السهم يهبط ↘

المشتقة موجبة؟
إذن السهم يطلع ↗

8. القيمة القصوى والقيمة الدنيا

كي الدالة تبدل اتجاهها، ممكن نلقاو قيمة قصوى أو دنيا.

من متزايدة إلى متناقصة

إذا كانت الدالة تطلع ثم تهبط، نكونو أمام قيمة قصوى.

↗ ثم ↘

من متناقصة إلى متزايدة

إذا كانت تهبط ثم تطلع، نكونو أمام قيمة دنيا.

↘ ثم ↗

ما يكفيش نقولو f'(a)=0 ونحكمو مباشرة أنها قيمة قصوى أو دنيا.

لازم نشوفو تغير إشارة المشتقة حول a.

9. مثال على قيمة دنيا

عندنا:

f'(x) = 2x - 4

لقينا:

x = 2

وشفنا:

- 0 +

يعني:

↘ ثم ↗

إذن عند x = 2 عندنا قيمة دنيا.

وإذا حبينا القيمة نفسها، لازم نحسبو:

f(2)

فرقي بين:

x = 2 → فاصلة النقطة.

f(2) → قيمة الدالة عندها.

10. مثال كامل من البداية للنهاية

f(x) = x² - 4x + 3

الخطوة 1: نحسب المشتقة

f'(x) = 2x - 4

الخطوة 2: نبحث عن انعدام المشتقة

2x - 4 = 0

x = 2

الخطوة 3: ندرس الإشارة

x	-∞	2	+∞
f'(x)	-	0	+
f(x)	↘	؟	↗

الخطوة 4: نحسب قيمة الدالة عند 2

f(2) = 2² - 4(2) + 3

f(2) = 4 - 8 + 3

f(2) = -1

إذن القيمة الدنيا هي:

-1

وتتحقق عند:

x = 2

11. كيفاش نبني جدول التغيّرات؟

كي يطلب منك الأستاذ جدول التغيرات، خدميه بهذا الترتيب.

1. نحدد مجال تعريف الدالة.

2. نحسب المشتقة.

3. نحل f'(x)=0.

4. ندرس إشارة المشتقة.

5. نحول إشارة المشتقة إلى أسهم التغير.

6. نحسب قيم الدالة المهمة.

7. نكمل جدول التغيرات.

يعني عندك سلسلة تخدم ديما:

المشتقة → الإشارة → التغيرات → القيم القصوى/الدنيا

12. حاجة مهمة: ماشي كل f'(x)=0 تعني قيمة قصوى

هذي نقطة مهمة باش ما تحفظيش قاعدة ناقصة.

ممكن تكون:

f'(a) = 0

بصح المشتقة تبقى بنفس الإشارة قبل وبعد a.

مثلاً إذا كانت الإشارة:

+ 0 +

الدالة تبقى متزايدة قبل وبعد النقطة.

إذن ما نقدرش نقولو مباشرة إنها قيمة قصوى.

القاعدة الصحيحة:

ما نشوفوش غير f'(a)=0.

نشوفو الإشارة قبل وبعد a.

13. العلاقة بين المنحنى والمشتقة

تخيلي روحك تشوفي المنحنى.

المنحنى يطلع:
المشتقة موجبة.

↗ → f'(x) > 0

المنحنى يهبط:
المشتقة سالبة.

↘ → f'(x) < 0

المنحنى عند نقطة حرجة:
ممكن المشتقة تكون صفر.

f'(x) = 0

14. تمرين شامل 🧠

التمرين

لتكن الدالة:

f(x) = x² - 6x + 5

1. احسبي f'(x).

2. أوجدي العدد الذي تنعدم فيه المشتقة.

3. ادرسي تغيرات الدالة.

4. أوجدي القيمة الدنيا.