أول حاجة ما تخافيش من الاسم
شوفي
الأمل الرياضي اسمو يبان صعيب
بصح الفكرة تاعو بسيطة
هو عدد يساعدنا نعرفو في المتوسط واش نقدروا نتوقعو من تجربة عشوائية إذا كررناها بزاف مرات
باش تفهميه مليح لازم نشوفو مثال
نبدأو بلعبة بسيطة
تخيلي لعبة
كل مرة نرمي النرد
إذا خرج الرقم 6 نربحو 60 دينار
وإذا خرج أي رقم آخر ما نربحو والو
السؤال
إذا لعبنا اللعبة مرات كثيرة
في المتوسط شحال نقدروا نربحو في كل مرة؟
نفكرو فيها
الرقم 6 عندو احتمال
1/6
وهو لي يعطينا 60 دينار
أما الأرقام الأخرى احتمالها كامل مع بعض
5/6
وما تعطيناش ربح
الربح الأول
60 دينار
واحتمالو
1/6
الربح الثاني
0 دينار
واحتمالو
5/6
درك نقدروا نحسبو المتوسط المتوقع للربح
نضربو كل ربح في الاحتمال تاعو
ومن بعد نجمعو النتائج
60 × 1/6 + 0 × 5/6
= 10
إذن المتوسط المتوقع للربح في كل لعبة هو
10 دنانير
ماشي معناها راح تربحي 10 دج في كل رمية
مرة تربحي 60
ومرات تربحي 0
بصح إذا كررنا اللعبة بزاف مرات
المتوسط تاع الأرباح يقرب لـ 10 دج في كل لعبة
وهنا فهمنا الفكرة
الأمل الرياضي يعطينا قيمة متوسطة متوقعة للمتغير العشوائي
يعني نشوفو كل قيمة ممكنة
نشوفو احتمالها
نضرب القيمة في احتمالها
ومن بعد نجمعو كامل
وهذا هو الأمل الرياضي
نرجعو للمتغير العشوائي
إذا كان عندنا متغير عشوائي X
ويقدر ياخذ القيم
x₁ و x₂ و x₃ ...
وكل قيمة عندها احتمال
P(X=x₁)
P(X=x₂)
P(X=x₃)
فالأمل الرياضي نحسبوه هكذا
E(X)=x₁P(X=x₁)+x₂P(X=x₂)+x₃P(X=x₃)+...
يعني ما تحفظيش الشكل وحدو
تذكري الفكرة
القيمة × احتمالها
ومن بعد نجمعو
مثال بسيط
عندنا المتغير العشوائي X لي ياخذ القيم التالية
X = 0 باحتمال 1/4
X = 1 باحتمال 1/2
X = 2 باحتمال 1/4
هذا هو نفس المثال لي شفناه في قانون احتمال المتغير العشوائي
القيمة 0
0 × 1/4 = 0
القيمة 1
1 × 1/2 = 1/2
القيمة 2
2 × 1/4 = 1/2
درك نجمعو
E(X)=0+1/2+1/2
E(X)=1
إذن الأمل الرياضي لهذا المتغير هو
E(X)=1
يعني في المتوسط عدد الصور لي نتوقعوها في رمي زوج قطع نقدية هو 1
حاجة مهمة
الأمل الرياضي ماشي بالضرورة يكون قيمة يقدر ياخذها X
مثلا لو كان
E(X)=2.5
ما يعنيش بالضرورة أن X راح يخرج 2.5
لأن X ممكن ياخذ غير أعداد معينة
الأمل الرياضي يمثل المتوسط المتوقع
كيفاش تحسبيه في التمرين؟
أولا
نكتبو قيم X
ثانيا
نكتبو احتمال كل قيمة
ثالثا
نضربو كل قيمة في الاحتمال تاعها
رابعا
نجمعو النتائج كامل
E(X)=Σ xᵢP(X=xᵢ)
جربي وحدك
عندنا المتغير العشوائي X
X = 0 باحتمال 1/2
X = 2 باحتمال 1/4
X = 4 باحتمال 1/4
احسبي E(X)
حاولي قبل ما تشوفي الحل
نحسبو كل قيمة × احتمالها
0 × 1/2 = 0
2 × 1/4 = 1/2
4 × 1/4 = 1
نجمعو
E(X)=0+1/2+1
E(X)=3/2
يعني
E(X)=1.5
الخلاصة
الأمل الرياضي يعطينا المتوسط المتوقع للمتغير العشوائي
باش نحسبوه
ناخذو كل قيمة
نضربوها في الاحتمال تاعها
ونجمعو النتائج كامل
يعني خليها قاعدة بسيطة في بالك
القيمة × احتمالها
ثم نجمعو
وفي الدرس الجاي نكملو الخاصية المهمة لي تتعلق بالأمل الرياضي
ننتقل للدرس التالي