التباين

وش شفنا في الدرس لي فات؟

في الدرس لي فات تعرفنا على الأمل الرياضي

وقلنا بلي الأمل الرياضي يعطينا قيمة متوسطة متوقعة للمتغير العشوائي

بصح كاين سؤال آخر مهم

هل القيم تاع X كامل قريبة من المتوسط؟

ولا بعضها بعيد بزاف عليه؟

هنا يجي دور التباين

نفهموها بمثال

تخيلي زوج مجموعات

المجموعة الأولى أعدادها

4 و 5 و 6

والمجموعة الثانية

1 و 5 و 9

في الزوج المتوسط هو 5

بصح هل القيم موزعة بنفس الطريقة؟

المجموعة الأولى

4 و 5 و 6

القيم قريبة من 5

المجموعة الثانية

1 و 5 و 9

القيم بعيدة أكثر على 5

إذن المتوسط وحدو ما يكفيش

حابين نعرفو شحال القيم متباعدة على المتوسط

وهذا هو الشي لي يساعدنا فيه التباين

كيفاش نقيسو البعد عن المتوسط؟

عندنا قيمة x

وعندنا المتوسط E(X)

باش نعرفو شحال x بعيدة على المتوسط نحسبو

x - E(X)

بصح كاين مشكل

بعض القيم تعطينا فرق موجب
وبعضها تعطينا فرق سالب

مثلا

إذا المتوسط 5
والقيمة 3

الفرق هو

3 - 5 = -2

وإذا القيمة 7

الفرق هو

7 - 5 = 2

إذا جمعنا الفروق ممكن السالب والموجب يلغاو بعضاهم

لهذا نديرو حاجة بسيطة

نربّعو الفرق

(x - E(X))²

هنا جات فكرة التباين

نحسبو البعد بين كل قيمة والمتوسط

نربّعو هذا البعد

وبعدها بما أن كل قيمة عندها احتمال

نضربو مربع البعد في احتمال القيمة

وفي الأخير نجمعو كلشي

وهذا هو التباين

V(X)=Σ (xᵢ-E(X))² P(X=xᵢ)

هذا هو القانون الأساسي

ما تحفظيش الرموز وحدها

فكري فيها هكذا

نحسبو البعد عن المتوسط

نربّعوه

نضربوه في الاحتمال

ونجمعو

كاين قانون أسهل أحيانا

التباين نقدروا نحسبوه أيضا بطريقة أخرى

وهذه الطريقة تكون أسهل في بعض التمارين

V(X)=E(X²)-[E(X)]²

يعني أولا نحسبو

الأمل الرياضي لـ X²

ومن بعد ننقصو مربع الأمل الرياضي لـ X

وش معناه E(X²)؟

ماشي معناها

E(X) ثم نربّعو

لا

E(X²) معناها نحسبو الأمل الرياضي للمتغير X²

يعني كل قيمة x نربّعوها أولا

ومن بعد نحسبو الأمل الرياضي تاع القيم الجديدة

مثلا إذا كانت X تأخذ القيمة 2

فـ X² = 4

وإذا كانت X تأخذ القيمة 3

فـ X² = 9

نشوفو مثال كامل

عندنا المتغير X

X = 0 باحتمال 1/4

X = 1 باحتمال 1/2

X = 2 باحتمال 1/4

من الدرس السابق عرفنا أن

E(X)=1

درك نحسبو X²

X	P(X=x)	X²
0	1/4	0
1	1/2	1
2	1/4	4

درك نحسبو E(X²)

نضربو كل X² في الاحتمال تاعو

E(X²)=0×1/4+1×1/2+4×1/4

E(X²)=3/2

ودرك نطبقو قانون التباين

V(X)=E(X²)-[E(X)]²

V(X)=3/2-1²

V(X)=1/2

إذن

V(X)=1/2

ملاحظة مهمة

التباين دائما يكون

أكبر أو يساوي الصفر

لأننا في الأصل نربّعو الفروق

والمربع ما يقدرش يكون سالب

إذن

V(X) ≥ 0

كيفاش تحليه في الباك؟

الطريقة الأولى

تحسبي E(X)
ومن بعد تحسبي مباشرة

E(X²)

ثم

V(X)=E(X²)-[E(X)]²

الطريقة الثانية

تحسبي لكل قيمة

(x-E(X))²

ثم تضربيها في الاحتمال

وفي الأخير تجمعي

في كثير من التمارين الطريقة الثانية تكون أطول

لذلك إذا كان عندك قانون احتمال مرتب

طريقة

E(X²)-[E(X)]² تكون مريحة بزاف

جربي وحدك

عندنا

E(X)=2

و

E(X²)=6

احسبي التباين

حاولي وحدك قبل ما تشوفي الحل

نستعملو

V(X)=E(X²)-[E(X)]²

إذن

V(X)=6-2²

V(X)=6-4

V(X)=2

الخلاصة

الأمل الرياضي يعطينا المتوسط المتوقع

أما التباين فيعطينا فكرة على شحال القيم متباعدة على هذا المتوسط

وعندنا قانونين مهمين

V(X)=Σ(xᵢ-E(X))²P(X=xᵢ)

و

V(X)=E(X²)-[E(X)]²

درك فهمنا التباين

والخطوة الجاية هي الانحراف المعياري

وهو مرتبط بالتباين ارتباط مباشر

ننتقل للانحراف المعياري