دستور الاحتمالات الكلية

قبل ما نشوفو القانون

شوفي

ما تحفظيش القانون من أول نظرة

خلي نفهمو علاش نحتاجوه أصلا

تخيلي عندك نتيجة معينة وحابة تعرفي احتمال حدوثها

بصح هذي النتيجة تقدر تجي من أكثر من طريق

هنا لازم نحسبو احتمال كل طريق وحدو

ومن بعد نجمعوهم

نشوفوها بمثال

عندنا صندوقين

الصندوق الأول فيه

3 كرات حمراء
2 كرات زرقاء

المجموع 5 كرات

الصندوق الثاني فيه

1 كرة حمراء
4 كرات زرقاء

المجموع 5 كرات

الآن نختارو صندوق واحد بالصدفة

يعني عندنا احتمال نختارو الصندوق الأول
واحتمال نختارو الصندوق الثاني

وبعد ما نختارو الصندوق نسحبو كرة

وحابة نعرفي

ما هو احتمال أن تكون الكرة حمراء؟

عندنا زوج طرق

ركزي هنا

الكرة الحمراء تقدر تجيك من الصندوق الأول

وتقدر تجيك من الصندوق الثاني

يعني عندنا زوج طرق باش نوصلو لنفس النتيجة

وهنا بالضبط نحتاجو الاحتمال الكلي

الطريق الأول

نختارو الصندوق الأول
ومن بعد نخرجو كرة حمراء

الطريق الثاني

نختارو الصندوق الثاني
ومن بعد نخرجو كرة حمراء

نحسبو الطريق الأول

عندنا زوج صناديق ونختارو واحد بالصدفة

إذن احتمال اختيار الصندوق الأول هو

1/2

درك كي اخترنا الصندوق الأول

لقينا فيه 3 كرات حمراء من أصل 5

إذن احتمال نخرجو كرة حمراء من الصندوق الأول هو

3/5

باش تصرا لنا الحاجتين مع بعض

نختارو الصندوق الأول
ومن بعد نخرجو حمراء

نضرب الاحتمالين

1/2 × 3/5 = 3/10

إذن احتمال نوصلو للكرة الحمراء عن طريق الصندوق الأول هو

3/10

نحسبو الطريق الثاني

نفس الشي نديروه مع الصندوق الثاني

احتمال نختارو الصندوق الثاني هو

1/2

وفي الصندوق الثاني كاينة كرة حمراء وحدة من أصل 5

إذن احتمال نخرجو حمراء منه هو

1/5

نضربو الاحتمالين

1/2 × 1/5 = 1/10

إذن الطريق الثاني عطانا

1/10

الآن نجمعو الطريقين

شوفي

الكرة الحمراء نقدروا نوصلولها بالطريق الأول
أو بالطريق الثاني

إذن نجمعو احتمال الطريق الأول مع احتمال الطريق الثاني

3/10 + 1/10 = 4/10

4/10 = 2/5

إذن احتمال سحب كرة حمراء هو

2/5

درك فهمتي الفكرة

إذا كانت النتيجة لي نبحثو عليها تقدر تحدث عن طريق أكثر من حالة

نقسمو المسألة إلى طرق

نحسبو احتمال كل طريق

في كل طريق نضرب الاحتمالات

ومن بعد نجمعو النتائج كامل

هذا هو بالضبط مبدأ الاحتمال الكلي

القانون

إذا كانت عندنا حالتان ممكنتان A و B وكان الحدث المطلوب يمكن أن يحدث من خلالهما

P(B) = P(A) × P(B|A) + P(Ā) × P(B|Ā)

ما تحتاجيش تحفظيه بطريقة صعبة

تذكري فقط

كل طريق وحدو

نضرب

وفي الأخير نجمع

مثال آخر

عندنا صندوقين

احتمال اختيار الصندوق الأول هو 1/2
واحتمال اختيار الصندوق الثاني هو 1/2

احتمال الحصول على كرة حمراء من الصندوق الأول هو 2/5
واحتمال الحصول على كرة حمراء من الصندوق الثاني هو 4/5

نريد احتمال الحصول على كرة حمراء

الطريق الأول

1/2 × 2/5 = 2/10

الطريق الثاني

1/2 × 4/5 = 4/10

نجمعوهم

2/10 + 4/10 = 6/10

إذن

P = 3/5

جربي وحدك

عندك زوج صناديق

احتمال اختيار الصندوق الأول هو 1/3
واحتمال اختيار الصندوق الثاني هو 2/3

إذا كان احتمال الحصول على كرة حمراء من الصندوق الأول هو 1/2
واحتمال الحصول على كرة حمراء من الصندوق الثاني هو 1/4

حاولي تحسبي احتمال الحصول على كرة حمراء

خذي وقتك
قسميها إلى طريقين
احسبي كل طريق
وبعدها اجمعيهم

الطريق الأول

1/3 × 1/2 = 1/6

الطريق الثاني

2/3 × 1/4 = 1/6

نجمعو

1/6 + 1/6 = 2/6

إذن

P = 1/3

الخلاصة

كي تشوفي تمرين فيه نتيجة تقدر تجي من عدة طرق

ما تتخلعيش من القانون

قسمي النتيجة إلى الطرق لي تقدر تجي منها

احسبي احتمال كل طريق

اضربي الاحتمالات داخل الطريق

وفي الأخير اجمعي الطرق كامل

وهكذا تكوني طبقتي دستور الاحتمالات الكلية

والآن تقدري تنتقلي للجزء لي بعده

ننتقل للجزء التالي