الاحتمالات - الدرس 6

الفكرة قبل القانون

درك وصلنا لفكرة مهمة بزاف الاستقلالية الكلمة تبان كبيرة بصح معناها بسيط نحب نعرفو هل وقوع الحدث الأول يبدل احتمال الحدث الثاني ولا لا إذا ما بدلوش نقولو الحدثين مستقلين

إذا الأول ما يأثرش على الثاني نقولو مستقلين

1 مثال بسيط جدا

نرمي قطعة نقدية

مرة أولى

ثم مرة ثانية

في الرمية الأولى ممكن يخرج وجه وممكن يخرج كتابة درك مهما خرج في الرمية الأولى هل هذا يبدل القطعة في الرمية الثانية لا الرمية الثانية ما تعرفش واش خرج قبلها إذن النتيجة الأولى ما أثرتش على الثانية نقولو الرميتين مستقلتين

2 مثال ثاني بسيط

نرمي نرد مرتين

A خروج 6 في الرمية الأولى

B خروج 6 في الرمية الثانية

إذا خرج 6 في الرمية الأولى هل هذا يبدل النرد في الرمية الثانية لا النرد يرجع عادي والرمية الثانية عندها نفس الاحتمالات إذن الحدثان مستقلان

P(A) = 1/6

P(B) = 1/6

3 وش نديرو كي يكونو مستقلين

إذا كان A و B مستقلين واحنا نحبوا احتمال وقوع A وB معا نضربو الاحتمالين

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

في مثال النرد

P(A) = 1/6

P(B) = 1/6

إذن

P(A ∩ B) = 1/6 × 1/6

P(A ∩ B) = 1/36

4 علاش ضربنا

ما تحفظيش نضربو لأن القانون قال حاولي تفهميها الاحتمال تاع الحدث الأول هو 1 من 6 ومن بعد نحتاجو كذلك الحدث الثاني والحدث الثاني مستقل على الأول إذن نحسبو فرصة الأول ثم فرصة الثاني ونضربوهم

أول حدث × ثاني حدث كي يكونو مستقلين

5 الاستقلالية والاحتمال الشرطي

هنا راح نربطو الدرس الجديد باللي فات إذا كان A وB مستقلين فوقوع B ما يبدلش احتمال A يعني

P(A | B) = P(A)

مثلا

احتمال خروج 6 في النرد هو

1/6

إذا عرفنا بلي في الرمية الأولى خرج 6 هذا ما يبدلش احتمال خروج 6 في الرمية الثانية يبقى

1/6

6 كيفاش نعرف الحدثين مستقلين

في التمارين يقدرو يعطيوك مباشرة A وB مستقلان هنا ما تحتاجيش تثبتي الاستقلالية تستعملي مباشرة

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

وفي حالات أخرى يعطيوك الاحتمالات وتقدري تختبري هل

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

إذا تساووا نقولو مستقلين إذا ما تساووش ماشي مستقلين

7 مثال صغير على التحقق

نعرفو أن

P(A) = 1/2

P(B) = 1/2

P(A ∩ B) = 1/4

نحسبو

P(A) × P(B)

1/2 × 1/2 = 1/4

لقينا نفس القيمة إذن

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

إذن الحدثان مستقلان

8 ماشي كل حدثين مستقلين

هنا انتبهي وجود حدثين في نفس التمرين ما يعنيش أنهم مستقلين لازم تكون عندنا علاقة الاستقلال مثلا إذا سحبنا كرة من كيس وما رجعناهاش السحبة الثانية ممكن تتأثر بالسحبة الأولى لأن محتوى الكيس تبدل وهنا لازم ننتبهو

كلمة بدون إرجاع مهمة جدا لأنها غالبا تعني أن السحبة الأولى ممكن تأثر على الثانية

9 مثال صغير جدا بدون إرجاع

عندنا كيس فيه كرة حمراء وكرة زرقاء نسحبو كرة وما نرجعوهاش

إذا خرجت الحمراء في السحبة الأولى وش بقى في الكيس بقات الزرقاء فقط إذن السحبة الأولى أثرت على الثانية ما نقدروش نقولو الحدثين مستقلين

هنا الاحتمال الثاني تبدل بسبب النتيجة الأولى إذن الأحداث غير مستقلة

10 الفرق اللي لازم يثبت

إذا كان الحدث الأول ما يبدلش احتمال الثاني مستقلين إذا الحدث الأول يبدل احتمال الثاني غير مستقلين مثال الرميتين تاع النرد مستقلين السحب بدون إرجاع غالبا غير مستقلين

💜 ملاحظة فيفي

ما تحفظيش كلمة مستقلين وخلاص كل مرة اسقسي روحك سؤال واحد هل النتيجة الأولى أثرت على التجربة الثانية إذا لا غالبا راكي أمام أحداث مستقلة إذا نعم راه لازم تنتبهي لأن الحساب راح يتبدل وخاصة في السحب بدون إرجاع

🌷 أهم القوانين اليوم

إذا كانو الحدثين مستقلين

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

والاستقلالية تعني كذلك

P(A | B) = P(A)

إذا الشرط ما بدلش الاحتمال نقدروا نقولو الحدثين مستقلين 💜

← الدرس السابق الدرس التالي في الاحتمالات → 🏠 الرجوع إلى الرياضيات