قبل ما نبدأو
درك عرفنا الاستقلالية
وعرفنا بلي مرات النتيجة الأولى ما تأثرش على الثانية
ومرات تأثر عليها
اليوم راح نفهمو كيفاش نحسبو احتمال وقوع حاجتين مع بعض
وخاصة كي تكون التجارب متتالية
1 مثال صغير جدا
عندنا قطعة نقدية
نرميها مرتين
نحبوا احتمال يخرج وجه في المرتين
احتمال الوجه في الرمية الأولى
1/2
والرمية الثانية مستقلة على الأولى
إذن احتمال الوجه فيها أيضا
1/2
نحبوا الوجه في الأولى
و
الوجه في الثانية
إذن نضربو
1/2 × 1/2 = 1/4
إذن احتمال خروج وجه في المرتين هو
1 على 4
2 وش إذا التجربة الثانية تتأثر بالأولى
هنا تتبدل القصة
إذا كانت النتيجة الأولى تغير الظروف
فالاحتمال الثاني يتبدل
وهنا نستعمل الاحتمال الشرطي
يعني
احتمال الحدث الثاني بشرط أن الحدث الأول وقع
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)
هذا القانون مهم جدا
معناه
احتمال وقوع A وB معا
يساوي احتمال A
مضروب في احتمال B بشرط A
3 مثال بالكرتين
عندنا كيس فيه
3 كرات حمراء
1 كرة زرقاء
نسحبو كرة ثم نسحبو كرة ثانية بدون إرجاع الأولى
نحبوا احتمال نسحبو حمراء في المرة الأولى
ومبعد حمراء في المرة الثانية
أولا
عندنا 3 حمراء من 4
P(A) = 3/4
إذا خرجت حمراء في الأولى
وش بقى
بقات زوج حمراء
وبقات كرة زرقاء
يعني بقى 3 كرات
ومنهم زوج حمراء
إذن
P(B | A) = 2/3
درك نضربو الاحتمالين
P(A ∩ B) = 3/4 × 2/3
P(A ∩ B) = 1/2
لاحظي كيفاش الاحتمال تبدل في السحبة الثانية
لأننا ما رجعناش الكرة
4 مع الإرجاع وبدون الإرجاع
هذه نقطة مهمة جدا
إذا سحبنا كرة
ورجعناها للكيس
العدد ما يتبدلش
إذن غالبا الاحتمال الثاني يبقى نفسه
أما إذا سحبناها وما رجعناهاش
العدد يتبدل
وبالتالي الاحتمال الثاني ممكن يتبدل
مثال عندنا 2 كرات حمراء وزرقاء
إذا سحبنا الحمراء ورجعناها نبقاو عندنا حمراء وزرقاء
أما إذا ما رجعناهاش يبقى غير الزرقاء
5 القانون بطريقة سهلة
كي يكون عندنا حدثين A وB
ونحبوا احتمال وقوعهم بجوج
نقدروا نكتبوا
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)
يعني
احتمال الأول
في
احتمال الثاني بشرط الأول
الأول × الثاني بعد ما نعرفو واش صرا في الأول
6 علاقة هذا بالاستقلالية
إذا كان A وB مستقلين
فالحدث الأول ما يأثرش على الثاني
إذن
P(B | A) = P(B)
وبالتالي القانون يصبح
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
يعني قانون الاستقلالية اللي شفناه في الدرس السابق
هو في الحقيقة حالة خاصة من قانون الضرب
7 كيفاش نحل أي سؤال من هذا النوع
قبل الحساب اسقسي روحك
هل عندي أكثر من تجربة
هل النتيجة الأولى تأثر على الثانية
إذا لا
غالبا الأحداث مستقلة
نستعمل
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
إذا نعم
النتيجة الأولى تأثر على الثانية
نستعمل
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)
8 كلمة مهمة جدا في التمارين
إذا شفتـي
بدون إرجاع
ما تروحيش مباشرة تقولي غير مستقلة
قولي
لازم نشوف واش تبدل في السحبة الثانية
غالبا الاحتمال راح يتغير
أما إذا قال
مع الإرجاع
فالكرة رجعت للكيس
والظروف رجعت كيف كانت
💜 ملاحظة فيفي
إذا شفتي قانون الضرب وحسيتيه معقد
رجعيه لجملة بسيطة
نحسب فرصة الحاجة الأولى
وبعدها نشوف فرصة الحاجة الثانية في الظروف الجديدة
ومن بعد نضرب
ما تحفظيش الرموز وحدهم
افهمي واش راه يصرا في القصة
لأن الاحتمالات في الأصل قصة
والرياضيات غير تكتبها بطريقة منظمة
🌷 خلاصة الدرس
إذا كانو الحدثين مستقلين
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
إذا كان الحدث الثاني يتأثر بالأول
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)
وفي السحب بدون إرجاع
لازم دائما نشوفو كيفاش تبدلت محتويات الكيس
افهمي واش تبدل في التجربة
قبل ما تحسبي الاحتمال 💜