المتتاليات الحسابية

هنا نبدأو الجزء المهم 💜

في الصفحة اللي فاتت شفنا كيفاش المتتالية تتبدل من حد للحد اللي بعدو.

درك راح نركزو على حالة خاصة ومهمة بزاف:

المتتالية الحسابية.

وبلا ما نرمي عليك تعريف وتحفظيه، خلي نفهموها أولًا.

1 شوفي هذي المتتالية

5 ، 8 ، 11 ، 14 ، 17 ، ...

نحبك تركزي فقط على حاجة وحدة:

من 5 إلى 8 واش درنا؟

5 + 3 = 8

ومن 8 إلى 11؟

8 + 3 = 11

ومن 11 إلى 14؟

11 + 3 = 14

يعني كل مرة نزيدو نفس العدد:

+3

وهذا هو السر كامل.

إذا كان الانتقال من حد للحد اللي بعدو يتم دائمًا بنفس العدد، راه عندنا متتالية حسابية.

2 الآن نعطيك التعريف

نقولو على المتتالية (uₙ) أنها حسابية إذا كان الفرق بين حدين متتاليين ثابت.

uₙ₊₁ - uₙ = r

والعدد الثابت هذا نسموه:

r

ونسميوه أساس المتتالية الحسابية.

يعني باختصار شديد:

حسابية = كل مرة نزيدو نفس العدد

أو ننقصو نفس العدد، لأن العدد الثابت يقدر يكون سالب.

3 كيفاش نعرف بلي متتالية حسابية؟

هنا في التمارين ما يكفيش تقولي: "نشوف بلي راهي حسابية".

لازم تبرهني.

أسهل طريقة:

نحسبو الفرق بين حد والحد اللي بعدو:

uₙ₊₁ - uₙ

إذا لقيناه عدد ثابت ما فيهش n، نقولو مباشرة:

إذن (uₙ) متتالية حسابية أساسها r.

4 مثال مهم جدًا

نعطيوك:

uₙ = 3n + 2

ونسقساوك: هل المتتالية حسابية؟

أول حاجة نحسبو:

uₙ₊₁

نعوضو n بـ n+1:

uₙ₊₁ = 3(n+1) + 2

نبسطو:

uₙ₊₁ = 3n + 5

الآن نحسبو الفرق:

uₙ₊₁ - uₙ

يعني:

(3n+5) - (3n+2)

= 3

شفتِ واش صرا؟

الـ n اختفى!

وبقالنا العدد 3 فقط.

إذن الفرق ثابت، وبالتالي المتتالية حسابية وأساسها:

r = 3

5 الآن نجيبو القانون المهم

إذا كانت المتتالية حسابية وعندنا الحد الأول والأساس r، نقدروا نلقاو أي حد مباشرة.

uₙ = u₁ + (n - 1)r

نعرف بلي القانون يبان ثقيل أول مرة 😂.

بصح شوفي الفكرة:

باش نروح من u₁ إلى u₂، نزيد r مرة وحدة.

باش نروح من u₁ إلى u₃، نزيد r زوج مرات.

باش نروح لـ u₄، نزيد r ثلاث مرات.

يعني باش نوصلو لـ uₙ، نحتاجو نزيدو r عدد: n - 1 مرات.

6 نخدموها خطوة بخطوة

عندنا:

u₁ = 4

r = 3

نحب نلقاو uₙ.

نكتب القانون:

uₙ = u₁ + (n-1)r

نعوض:

uₙ = 4 + (n-1)3

نبسط:

uₙ = 4 + 3n - 3

uₙ = 3n + 1

وهكذا لقينا الحد العام.

ودرك إذا طلب منك u₁₀₀، ما تحتاجيش تحسبي 99 حد قبله 😂.

عوضي n بـ100 وخلاص.

7 وش راه يصرى للمتتالية؟

الآن نقدروا نعرفو إذا المتتالية راهي تطلع ولا تهبط.

وهذي نسميها الرتابة.

إذا كان:

r > 0

راه كل مرة نزيدو عدد موجب.

إذن المتتالية: متزايدة.

إذا كان:

r < 0

راه كل مرة ننقصو.

إذن المتتالية: متناقصة.

وإذا:

r = 0

ما يتبدل والو.

إذن المتتالية: ثابتة.

8 مثال صغير

عندنا متتالية حسابية أساسها:

r = -2

واش راح نقولو عليها؟

الأساس سالب.

يعني كل مرة ننقصو 2.

إذن الحدود راح يهبطو.

وبالتالي:
المتتالية متناقصة.

9 ديريها وحدك 🧠

عندنا:

u₁ = 7

r = 5

1. أوجدي الحد العام uₙ.

2. احسبي u₆.

3. هل المتتالية متزايدة أم متناقصة؟

الحل:

1.

uₙ = u₁ + (n-1)r

uₙ = 7 + (n-1)5

uₙ = 5n + 2

2.

u₆ = 5(6) + 2

u₆ = 32

3. بما أن:

r = 5 > 0

إذن المتتالية:
متزايدة.

⚠️ فيفي توقفك هنا شوية

أكبر غلطة نشوفها:

التلميذ يشوف:

uₙ = 3n + 2

ويقول مباشرة:
"آه حسابية."

لااا 😂.

لازم في البرهان تحسبي:

uₙ₊₁ - uₙ

وتشوفي واش يخرج.

وإذا خرجلك عدد ثابت، هنا عندك الحق تقولي:

إذن المتتالية حسابية.

ما تكتبيش النتيجة بلا تبرير، خاصة في تمارين البكالوريا.

خلاصة فيفي 💜

إذا قالك التمرين:

"بين أن (uₙ) حسابية"

أول حاجة تفكري فيها:

uₙ₊₁ - uₙ

إذا خرج عدد ثابت:

r

خلاص، عرفنا أنها حسابية.

وبعدها إذا طلب الحد العام:

uₙ = u₁ + (n-1)r

والرتابة؟

r موجب → متزايدة.
r سالب → متناقصة.
r يساوي صفر → ثابتة.

إذا فهمتي علاش نستعملو
(n - 1)
ما راحش يبقى قانون المتتالية الحسابية مجرد حاجة تحفظيها. 💗

في الصفحة الجاية نزيدو خطوة، ونشوفو المتتالية الحسابية في التمارين بطريقة أقرب للبكالوريا.